1. 背景
前段時間在和一個國外學(xué)生Adem交流一組試驗數(shù)據(jù)的處理方法時出現(xiàn)了以下的一個分歧：試驗?zāi)康闹饕菫榱藴y試等向壓縮過程中不同基質(zhì)吸力狀態(tài)下非飽和膨脹土的體變模量(E)問題，最終將這一參數(shù)用于計算淺層地基的變形，所以對應(yīng)的荷載其實并不大。其中一組等吸力狀態(tài)下的體變-凈平均應(yīng)力的關(guān)系曲線試驗數(shù)據(jù)如圖1所示，其他試驗數(shù)據(jù)與此類似。
圖1 原始試驗數(shù)據(jù)
方法一：
從圖中可以發(fā)現(xiàn)，由于試驗中所施加的凈平均應(yīng)力并不大，最大也僅僅為200kPa，另一方面試樣的干密度又較大，加之又處于非飽和狀態(tài)，導(dǎo)致先期固結(jié)壓力較大，所以在整個壓縮過程中曲線并沒有顯現(xiàn)出明顯的非線性，使用線性擬合發(fā)現(xiàn)擬合效果也相當(dāng)不錯，R2=0.9852.
如果根據(jù)體變模量的定義（D. G. Fredlund et al. 1993）將幾個變形參數(shù)公式寫在一起；
；(1)
不難發(fā)現(xiàn)，體變模量可以直接根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變曲線每一個加載步的斜率進(jìn)行計算，即E = 3*(1-2μ) / (slope in each load step)，但是這時存在一個問題：由于應(yīng)力應(yīng)變曲線并不嚴(yán)格為直線，那么在一個常吸力狀態(tài)下的等向壓縮過程中每一個加載步都會對應(yīng)得到一個體變模量值，這樣的結(jié)果無論是在之后的模型建立中還是在實際的數(shù)值模擬使用中都是極為不便的。所以做出了如下的簡化處理，近似線性的應(yīng)力應(yīng)變曲線則可以直接使用整個直線的斜率來代替每個加載步的斜率，結(jié)果就可以在一個常吸力下對應(yīng)一個體變模量值，這樣也符合我們實驗的最終的預(yù)期成果之一：分析吸力對土體變形模量的影響，進(jìn)而探討與非飽和膨脹土體變本構(gòu)模型應(yīng)用方面的相關(guān)問題，而暫時忽略了不同應(yīng)力水平下體變模量的差異問題。
如果假設(shè)泊松比為0.33，那么很容易得到變形模量為1902.99kPa，使用這個變形模量值來進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的計算時，由于是逆運(yùn)算的關(guān)系，得到的自然是圖1中的線性擬合線。
方法二：
但是Adem堅持使用增量法來進(jìn)行計算，用到了式(1)中的最后一項，如果將0-200kPa作為一個大的加載步，那么(σ-ua)ave=100kPa，壓縮指數(shù)Ct取e-lg(σ-ua)曲線的直線段值（圖2所示），使用式 (2) 的最后一項來進(jìn)行計算。
；(2)
圖2 原始數(shù)據(jù)e - lgp曲線
那么得到的結(jié)果為：
Ct = ln10*(the slope of linear part of e-lg(p) curve)
E = 6.908*(1-2μ)(1+e0)/Ct*(σ-ua)ave = 406.1327 kPa.
發(fā)現(xiàn)兩種方法計算的結(jié)果相差巨大，已經(jīng)不僅僅是誤差范圍內(nèi)的差異了，從原理上來講，應(yīng)力應(yīng)變曲線和e-lg(σ-ua)曲線都是描述土體變形的一種方法，僅僅狀態(tài)變量是選用體應(yīng)變還是孔隙比之間的差別，應(yīng)該不會有如此大的差別了。
那么問題究竟出在哪個地方呢？
在于對數(shù)坐標(biāo)的使用上！
2. 對數(shù)坐標(biāo)的來源
在國內(nèi)的幾個土力學(xué)教材版本中，都是在土的壓縮性部分介紹出了半對數(shù)坐標(biāo)系e-lg(p)曲線的使用，但是都沒有解釋為什么采用半對數(shù)坐標(biāo)系。此外，在粒徑分布曲線和非飽和土中的SWCC等曲線中也都使用了對數(shù)坐標(biāo)系。
回顧這些應(yīng)用，不免會思考下面這個問題：其實更加簡單的雙曲線也在通常的坐標(biāo)系下也會有類似的形狀，為什么單單會有如此多的地方使用對數(shù)坐標(biāo)系？會不會有更深層次的原因呢？
其實，更重要的是這些方面的應(yīng)用都有一些共同的特征：
(1) 變量之一在所研究的范圍內(nèi)發(fā)生了幾個數(shù)量級的變化；
(2) 在自變量由零開始逐漸增大的初始階段，當(dāng)自變量的少許變化引起因變量極大變化時，此時采用半對數(shù)坐標(biāo)，曲線最大變化范圍可伸長，使圖形輪廓清楚；
(3) 需要將某種函數(shù)變換為直線函數(shù)關(guān)系。
回顧對數(shù)的產(chǎn)生過程：
盡管對數(shù)的產(chǎn)生要比指數(shù)更早，前者產(chǎn)生于1614年納皮爾出版的《奇妙的對數(shù)定律說明書》（Joost Bürgi獨立發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，但直到納皮爾之后4年才發(fā)表），之后布里格斯于1624年在出版的《對數(shù)算術(shù)》中對其加以改造，并使之廣泛流傳。而指數(shù)符號則直到近二十年后的1637年才有法國數(shù)學(xué)家笛卡爾首次采用，只到1770年，歐拉在出版的一部著作中使用了y=a^x 來定義x=loga(y)，他指出：“對數(shù)源于指數(shù)”。(引自：百度百科)
那么在巖土工程里面為何要使用對數(shù)呢？
那得從土的壓硬性說起。在側(cè)限壓縮中，并不會出現(xiàn)剪切中的破壞問題，隨著荷載的增大，土體不斷被壓縮，密度不斷增大，變得越來越“硬”。這一現(xiàn)象很容易聯(lián)想到我們常見的復(fù)利計算方法，隨著時間的增加，利息不斷加入原有本金而用于計算下一個計息周期的利息，在土體中，一定空間內(nèi)土顆粒的不斷增多用于抵抗下一個階段的荷載。Oh yeah，看，是不是有點跟上節(jié)奏了。最終本息和將成為計息周期的指數(shù)函數(shù)：P=A*(1+i)^n，而土體所能承擔(dān)的荷載是土體密度（注：由于土體的最終變形是處于荷載全部由土體骨架所承擔(dān)，所以此處代表干密度）的指數(shù)函數(shù)，如果使用孔隙比變化來表征土體的干密度變化，就有了p=1.0E[N-(1+e)/λ]，底數(shù)也可以換成自然對數(shù)等其他base形式，進(jìn)行變換就得到了常用的NCL表達(dá)式：ν=1+e=N-λ*lg(p)。當(dāng)然，使用自然對數(shù)還是10為底的對數(shù)區(qū)別僅僅在于曲線的斜率之間會有一個常數(shù)倍的關(guān)系，但是他們的起源是不同的，筆者將在下一篇文章里面更加詳細(xì)的討論土的壓硬性和復(fù)利計算類比這一問題。
總結(jié)一下，我們應(yīng)該在下列情況下應(yīng)用對數(shù)坐標(biāo)系：
(1) 如果所研究的函數(shù)y和自變量x在數(shù)值上變化了幾個數(shù)量級；
(2) 需要將曲線開始部分劃分成展開的形式；
(3) 當(dāng)需要變換某種非線性關(guān)系為線性關(guān)系時。
這時，一個同學(xué)勇敢的舉手發(fā)言：難道說我們學(xué)習(xí)了N年的土力學(xué)教材就被你這隨便一YY就失效了? 嚴(yán)謹(jǐn)一點，好不。。。Too young, too simple !
好好好，這位同學(xué)，坐下喝杯茶，先壓壓驚，且聽慢慢道來。
在《土力學(xué)》教材中通常講解了四個與側(cè)限壓縮相關(guān)的參數(shù)：壓縮系數(shù)、壓縮指數(shù)、壓縮模量和體積壓縮系數(shù)。
壓縮系數(shù)：孔隙比增量和荷載增量的比值，a=-△e/△p；
壓縮指數(shù)：孔隙比增量和荷載對數(shù)增量的比值，Cc=-△e/△(lgp)；
側(cè)限壓縮模量：應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的比值，Es=△σz/△εz=(1+e0)/a；
體積壓縮系數(shù)：側(cè)限壓縮模量的導(dǎo)數(shù)，mv=1/Es=a/(1+e0)；
從計算公式來看，都從增量的角度進(jìn)行定義。那么對于實際的使用來講，由于大多的土體的壓縮曲線是非線性的，如果使用“壓縮系數(shù)”、“壓縮模量”和“體積壓縮系數(shù)”的話，勢必會造成在每一個應(yīng)力狀態(tài)下這些參數(shù)都有一個不同的參數(shù)數(shù)值的情況，而且參數(shù)隨著荷載的變化還會比較明顯，再加上什么含水率、什么應(yīng)力比、應(yīng)力水平、加載速率等等因素，是不是已經(jīng)暈了，搞得這么復(fù)雜，這不是要讓本來就苦逼的工程師們罵街的節(jié)奏么! So, 半對數(shù)坐標(biāo)系應(yīng)運(yùn)而生，除了壓力比較小的范圍有些乏力以外，一個λ或者Cc就可以描述相當(dāng)范圍內(nèi)比體積或者孔隙比隨荷載的變化規(guī)律，簡直是爽爆了有木有。而且，通常情況下自重應(yīng)力再加上基礎(chǔ)傳來的附加應(yīng)力導(dǎo)致地基土體中的應(yīng)力都大于100kPa，在大于100kPa范圍內(nèi)的壓縮曲線使用e-lg(p)來表示是沒有問題的，見圖2。這也是在《土力學(xué)》教材(李廣信，2013)和《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(GB 50007 - 2011)中對土體的壓縮性(低、中、高)分類是以100-200kPa荷載段來進(jìn)行的原因之一。而且，在《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(GB 50007 - 2011)和《巖土工程勘察規(guī)范》(GB 50021 - 2001)(2009版)中也都明確指出壓縮系數(shù)和壓縮模量會隨著荷載而改變，在使用各向同性均質(zhì)線性變形體理論進(jìn)行地基變形計算時也是使用“土的自重壓力至土的自重壓力和與附加壓力之和的壓力段”所對應(yīng)的壓縮模量，而非直接使用λ或Cc來進(jìn)行變形計算。
所以說在規(guī)范所考慮的通常情況下，一般是不會出現(xiàn)本文中所涉及的問題的。
但是，如果不是規(guī)范中所默認(rèn)的通常情況，而是需要計算幾個kPa、幾十個kPa情況下的基礎(chǔ)變形問題怎么辦?比如說月球上的基礎(chǔ)設(shè)計呢?或者超固結(jié)比很大的超固結(jié)土，其應(yīng)力狀態(tài)處于線彈性范圍內(nèi)的情況呢(本文的圖1)?這時就必須考慮在壓力比較小的情況下半對數(shù)坐標(biāo)系的適用性問題了。
寫到這里發(fā)現(xiàn)本文其實也沒有解決任何實際的問題，僅供思考，謝謝觀看！:)
【參考文獻(xiàn)】
[1] Fredlund, D. G. & Rahardjo, H. 1993. Soil mechanics for un-saturated soils[M]. New York: John Wiley & Sons Inc.
[2] 李廣信, 張丙印, 余玉貞. 2013. 土力學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社.
[3] 中國建筑科學(xué)研究院. 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S]. 北京: 建筑工業(yè)出版社.
