1 研究背景
地下水源熱泵是極具潛力的一項(xiàng)綠色節(jié)能技術(shù)，2005 年被中國(guó)建設(shè)部列為建筑業(yè)十項(xiàng)新技術(shù)之一，其在建筑物中的推廣應(yīng)用是國(guó)家列為節(jié)約資源節(jié)約工作重點(diǎn)之一，同時(shí)許多地方都把發(fā)展地源熱泵作為發(fā)展本地經(jīng)濟(jì)的一個(gè)契機(jī)。例如北京市，自1999年起以北京工業(yè)大學(xué)為基地，進(jìn)行地?zé)峁┡痉豆こ碳暗蜏氐責(zé)崮芴菁?jí)利用技術(shù)研究，同時(shí)將地源熱泵中央空調(diào)作為2008 年北京奧運(yùn)會(huì)指定選用的空調(diào)形式。
地下水源熱泵技術(shù)（GSHP:Ground Source Heat Pump），是一種采集淺層低溫地能（地下水，如圖1所示），同時(shí)滿足供暖和制冷的需求，并且實(shí)現(xiàn)零污染排放的能源利用方式。地源熱泵的研究雖然從1912年就起始，并且20世紀(jì)50年代在歐洲和美國(guó)經(jīng)歷了研究的第一次熱潮，但直到20世紀(jì)70年代，世界石油危機(jī)使得人們關(guān)注節(jié)能、高效用能，地源熱泵的推廣應(yīng)用才得以迅速展開。它不僅利用了大自然的可再生能源，大幅度節(jié)約傳統(tǒng)的高品位建筑用能，還可以真正實(shí)現(xiàn)供暖制冷無(wú)污染的綠色居住環(huán)境。國(guó)內(nèi)外專家均認(rèn)為，采集大自然低溫可再生能特別是淺層地能是21世紀(jì)取代傳統(tǒng)供暖制冷方式最為現(xiàn)實(shí)最有前途的技術(shù)措施。但是地下水的大量采集如果沒(méi)有進(jìn)行及時(shí)的回灌會(huì)造成地表的沉降，從而影響到建筑物的使用安全，因此對(duì)采集后的地下水（利用后的地下水）進(jìn)行回灌是很有必要的。但是對(duì)地下水的回灌并不像采集時(shí)那么輕松，由其引出回灌過(guò)程中困難的問(wèn)題，造成回灌困難的機(jī)理一般為物理堵塞，化學(xué)堵塞以及微生物堵塞這三大類，鑒于本文的研究方向，我們只著眼于物理堵塞的問(wèn)題上，從懸浮顆粒的遷移和沉積著手，圖2為物理堵塞的示意圖。
圖1 地下水源型熱泵示意圖
圖2 固體顆粒通道阻塞示意圖
在國(guó)外，Iwasaki(1937年)首先提出了顆粒捕獲和滲透的現(xiàn)象模型，模型假定顆粒沉積符合線性動(dòng)力學(xué)方程，模型的數(shù)值解通實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較好的吻合，因此該模型應(yīng)用到由于巖石滲透性下降引起注水井注水效率降低是有所幫助的，但是該模型并沒(méi)有考慮顆粒的遷移機(jī)理，只是假定了單一的線性關(guān)系。隨后，不同的學(xué)者在微觀節(jié)點(diǎn)模型上進(jìn)行了大量的研究，比如Payatakes et al.(1974年)，Siqueira et al(2003年)等，在他們的研究都涉及到顆粒沉積的力學(xué)機(jī)理。
Sharma and Yortsos(1987年)對(duì)多孔介質(zhì)中懸浮顆粒遷移的平衡方程進(jìn)行了推導(dǎo)，假定了孔隙的大小是均勻分布，整個(gè)孔隙都可有懸浮顆粒通過(guò)并且顆粒的遷移是隨著孔隙內(nèi)水體的流動(dòng)而流動(dòng)，但是在假定多孔介質(zhì)中孔隙的大小均勻分布時(shí)是有所缺陷的，因?yàn)樵谧匀唤缰挟?dāng)懸浮顆粒經(jīng)過(guò)比其直徑小的孔隙時(shí)將堵塞在孔隙的入口處，當(dāng)懸浮顆粒流經(jīng)比其直徑大時(shí)才會(huì)在孔隙中隨著水體的流動(dòng)而流動(dòng)；Wang H.Q(2002年)通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)造成堵塞的顆粒受到尺寸效應(yīng)的影響，從而打破了以前的一些單一的假設(shè)。
在國(guó)內(nèi)，何滿潮等(2002,2004年)對(duì)地?zé)崴畬?duì)井回灌滲流場(chǎng)中的滲透系數(shù)進(jìn)行了研究，研究得出受地下水溫度的影響，在井體周圍產(chǎn)生物理堵塞，使得井體周圍的滲透系數(shù)減小，從而增加了回灌的難度，并且得出了 這一衰減方程。方肇洪等(2006年)對(duì)單井回灌地源熱泵承壓含水層滲流給出了具體的解析解。雖然國(guó)內(nèi)的不少學(xué)者在地源熱泵井的回灌問(wèn)題上做了大量的工作，但是在因回灌困難帶來(lái)的物理堵塞的機(jī)理上的研究是很少的，筆者本著簡(jiǎn)單的原則來(lái)推導(dǎo)物理堵塞機(jī)理的理論。
本文在肯定了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的貢獻(xiàn)基礎(chǔ)之上建立了多孔介質(zhì)中顆粒的遷移方程和顆粒的沉積模型，同時(shí)在模型的建立過(guò)程中充分考慮了顆粒流動(dòng)速度折減系數(shù)、孔隙率的變化以及顆粒在孔隙里發(fā)生捕獲的概率這三因素，為解決地源熱泵回灌井物理堵塞的室內(nèi)外的實(shí)驗(yàn)研究提供理論依據(jù)，望能給地下水源熱泵技術(shù)的大范圍的推廣提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。
2 多孔介質(zhì)中顆粒遷移和沉積的數(shù)學(xué)模型的建立
首先給出幾個(gè)基本假定：
懸浮顆粒為球體，其半徑保持不變，大小為 。
多孔介質(zhì)里的孔隙為圓柱體，半徑為 ，且服從正態(tài)分布。
流體為不可壓縮的，均勻，并且只考慮一維情況下的流體的流動(dòng)。
2.1 傳統(tǒng)深層過(guò)濾模型
1937年Iwasaki 首先建立了深層過(guò)濾系統(tǒng)中顆粒遷移的數(shù)學(xué)模型，1970年Herzig等在結(jié)合達(dá)西定律同時(shí)考慮顆粒質(zhì)量平衡、顆粒捕獲動(dòng)力效應(yīng)后得到的如式(1)的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型：
式(1)在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下可以通過(guò)拋物線法（Massi at el,2002）得出具體的解析解，事實(shí)上，式(1)中第一和第二式是相互獨(dú)立的，二者構(gòu)成顆粒遷移和捕獲的動(dòng)力模型，但是我們從式(1)可以看出，式中并未考慮了懸浮顆粒速度折減系數(shù)、孔隙率的變化以及流量折減系數(shù)以及懸浮顆粒捕獲概率的影響，我們可以說(shuō)式（1）是不全面的，因此本文的重點(diǎn)將放在考慮三大變化因素（速度折減系數(shù)，流量折減系數(shù)，捕獲概率）上，來(lái)推導(dǎo)多孔介質(zhì)中懸浮顆粒的遷移和沉積的方程。
2.2模型的建立過(guò)程
在解決問(wèn)題前，首先引入懸浮顆粒，捕獲顆粒以及孔隙半徑的分布，
式（12）的物理意義為：孔隙入口處顆粒的沉積是大于孔隙半徑的懸浮顆粒引起的，也即通常所假定的一個(gè)顆粒能阻塞一個(gè)孔隙；反之亦然。
接下來(lái)推導(dǎo)懸浮顆粒和捕獲顆粒的平衡方程：
顆粒流動(dòng)方程的建立：
當(dāng)顆粒流經(jīng)大于其半徑的新的孔隙前并不能保證所有的懸浮顆粒都能進(jìn)入孔隙中，所以我們引入?yún)?shù)進(jìn)入
式（20）就是所求懸浮顆粒整體平衡方程，同式（1）的第一個(gè)式子相比較后，在引入了流量折減系數(shù)，空隙率折減系數(shù)和速度折減系數(shù)后表達(dá)式變得更加完善，當(dāng)然式子的形式變的更復(fù)雜，這樣給求解問(wèn)題帶來(lái)的很大的困難。
封閉系統(tǒng)中的控制方程：
此處的封閉系統(tǒng)指顆粒進(jìn)入孔隙后在孔隙內(nèi)的遷移、沉積以及捕獲的過(guò)程。
研究的重點(diǎn)將放在顆粒捕獲率和孔隙堵塞動(dòng)力方程上；
3 邊界條件
下面將對(duì)孔隙介質(zhì)中邊界條件的確立進(jìn)行描述，在確定邊界條件時(shí)我們更多的是關(guān)心懸浮顆粒在入口處的濃度變化情況，在初始階段，我們先假定一給定的顆粒濃度的分布，如式(24)所示，多孔介質(zhì)的入口處的橫截面可以理解為一個(gè)多孔篩，注入的細(xì)顆粒在水體作用下流經(jīng)可利用的多孔介質(zhì)的孔隙中，對(duì)于那些末能利用的多孔介質(zhì)的孔隙將發(fā)生沉積現(xiàn)象，久而久之，將在孔隙壁形成沉積，進(jìn)而影響堵塞。下式為懸浮顆粒在注入的起始階段的邊界條件的表達(dá)式。
考慮到該數(shù)學(xué)的復(fù)雜性，要給出個(gè)具體的解析解是相當(dāng)?shù)睦щy，在以后的工作中筆者將通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證。
結(jié)論：
文中的模型是建立在質(zhì)量守恒定律的基礎(chǔ)之上，在公式的推導(dǎo)過(guò)程中充分的考慮了流量折減系數(shù)，速度折減系數(shù)等因素，該模型對(duì)解決地源熱泵回灌井回灌困難的問(wèn)題提供了理論依據(jù)，模型的建立將為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)研究提供理論基礎(chǔ)，筆者在接下來(lái)的工作中將利用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該模型。
從模型中可以得到，堵塞的發(fā)生往往是由一個(gè)顆粒所引起的，即：一個(gè)顆粒堵塞一個(gè)孔隙，反之亦然.
模型的建立考慮孔隙率變化的情況，在物質(zhì)的遷移和堵塞的過(guò)程中，孔隙率的變化往往也是個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程。
相比與傳統(tǒng)的過(guò)濾模型，考慮了速度折減系數(shù)和流量折減系數(shù)后模型顯的更加全面。
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